1.1.1 函数的概念与性质

一、函数的定义

设 DD 是一个非空实数集，如果存在一个对应法则 ff，使得对 DD 中每一个实数 xx，都有唯一确定的实数 yy 与之对应，则称 ff 为定义在 DD 上的函数，记作：

y=f(x),x∈Dy = f(x), \quad x \in D

其中：

  • xx 称为自变量
  • yy 称为因变量
  • DD 称为函数的定义域
  • 函数值的集合 {f(x)∣x∈D}\{f(x)|x\in D\} 称为值域

二、函数的表示方法

  1. 解析法（公式法）：如 f(x)=x2+1f(x)=x^2+1
  2. 图像法：用平面直角坐标系中的曲线表示
  3. 表格法：用数值对应表表示
  4. 描述法：用语言描述对应关系

三、函数的基本性质

1. 有界性

  • 若存在 M>0M>0 使 ∣f(x)∣≤M|f(x)| \leq M 对 ∀x∈D\forall x \in D 成立，则称 f(x)f(x) 在 DD 上有界
  • 否则称为无界

2. 单调性

  • 单调递增：x1<x2⇒f(x1)≤f(x2)x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \leq f(x_2)
  • 严格递增：x1<x2⇒f(x1)<f(x2)x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)
  • 单调递减定义类似

3. 奇偶性

  • 奇函数：f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)（图像关于原点对称）
  • 偶函数：f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)（图像关于y轴对称）

4. 周期性

若存在 T≠0T \neq 0 使 f(x+T)=f(x)f(x+T) = f(x) 对 ∀x∈D\forall x \in D 成立，则称 f(x)f(x) 为周期函数，TT 称为周期

四、特殊函数类型

函数类型定义特征例子
分段函数定义域不同区间对应不同表达式f(x)={x,x≥0−x,x<0f(x)=\begin{cases} x, & x\geq 0 \\ -x, & x<0 \end{cases}
复合函数f(g(x))f(g(x)) 的形式sin⁡(x2)\sin(x^2)
反函数y=f(x)⇔x=f−1(y)y=f(x) \Leftrightarrow x=f^{-1}(y)y=ex↔x=ln⁡yy=e^x \leftrightarrow x=\ln y

五、考研重点题型

  1. 求函数的定义域（注意分母不为零、偶次根式非负等）
  2. 判断函数的奇偶性
  3. 证明函数的单调性
  4. 求反函数表达式
  5. 复合函数分解

典型例题

例题1：求函数 f(x)=x−1x2−4f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{x^2-4} 的定义域

解： 需要同时满足：

  1. x−1≥0⇒x≥1x-1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1
  2. x2−4≠0⇒x≠±2x^2-4 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 2

∴ 定义域为 [1,2)∪(2,+∞)[1,2) \cup (2,+\infty)

例题2：判断 f(x)=ln⁡(x+x2+1)f(x)=\ln(x+\sqrt{x^2+1}) 的奇偶性

解： 计算 f(−x)=ln⁡(−x+x2+1)=ln⁡(1x+x2+1)=−f(x)f(-x)=\ln(-x+\sqrt{x^2+1})=\ln\left(\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\right)=-f(x)

∴ 该函数为奇函数

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