6.1.2 多元函数极限

一、基本概念

1. 定义：设二元函数 $f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的某去心邻域内有定义，若存在常数 $A$，使得对于任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，当 $0 < \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} < \delta$ 时，恒有 $|f(x,y) - A| < \varepsilon$，则称 $A$ 为 $f(x,y)$ 在 $(x,y)\to(x_0,y_0)$ 时的极限，记作：

   $$\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y) = A$$

2. 几何意义：当动点 $P(x,y)$ 以任意路径趋近 $P_0(x_0,y_0)$ 时，函数值 $f(x,y)$ 都无限接近于 $A$。

二、极限存在的判定

1. 路径检验法：

   • 若沿不同路径（如直线 $y=kx$、抛物线 $y=kx^2$ 等）趋近时极限值不同，则极限不存在
   • 典型反例：$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{x^2 + y^2}$

2. 夹逼准则：

   • 若存在 $g(x,y) \leq f(x,y) \leq h(x,y)$ 且 $\lim g = \lim h = A$，则 $\lim f = A$

三、计算方法

1. 直接代入法：对于连续函数可直接代入

   • 例：$\lim_{(x,y)\to(1,2)} (x^2 + 2y) = 1 + 4 = 5$

2. 极坐标变换法：

   • 令 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$，当 $(x,y)\to(0,0)$ 时 $r\to 0$
   • 例：计算 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^3 + y^3}{x^2 + y^2}$

3. 不等式放缩法：

   • 利用 $|x| \leq \sqrt{x^2 + y^2}$ 等不等式进行放缩

四、典型例题

1. 判断极限是否存在：

   $$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2y}{x^4 + y^2}$$

2. 计算极限：

   $$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\sin(x^2 + y^2)}{x^2 + y^2}$$

五、注意事项

1. 与一元函数极限的区别：

   • 趋近路径的无限性
   • 不存在"左极限""右极限"的概念

2. 常见错误：

   • 仅验证直线路径就断言极限存在
   • 忽略函数在趋近点处的定义情况

六、课后练习

1. 证明下列极限不存在：

   $$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy^2}{x^2 + y^4}$$

2. 计算极限：

   $$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{1 - \cos(x^2 + y^2)}{(x^2 + y^2)^2}$$

3. 讨论函数在原点处的极限：

   $$f(x,y) = \begin{cases} \frac{x^2y}{x^2 + y^2} & (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & (x,y) = (0,0) \end{cases}$$

该内容包含：
1. 严格数学定义
2. 几何解释
3. 判定方法（含反例）
4. 多种计算技巧
5. 典型例题分析
6. 常见误区提醒
7. 配套练习题

可根据需要补充具体例题的详细解答过程或添加可视化示意图。