8.2.1 幂级数概念

一、幂级数的定义

幂级数是以变量( x )的幂次方构成的函数项级数，标准形式为：

$$\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)^2 + \cdots$$

其中：

• ( a_n )为系数（常数）
• ( x_0 )为中心点（通常取0时为麦克劳林级数）

二、收敛特性

1. 收敛半径（R）

存在正数( R )使得：

• 当( |x-x_0| < R )时级数绝对收敛
• 当( |x-x_0| > R )时级数发散
• 端点( x = x_0 \pm R )需单独判断

2. 收敛域

所有使幂级数收敛的( x )的集合，可能是：

• 单点集（( R=0 )）
• 有限区间（( R )有限）
• 全体实数（( R=+\infty )）

三、计算方法

1. 比值法求收敛半径

$$R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|$$

2. 根值法求收敛半径

$$R = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{|a_n|}}$$

四、重要性质

1. 和函数连续性：在收敛区间内连续
2. 逐项可导/可积：
   • 导数级数：( \frac{d}{dx} \sum a_n x^n = \sum n a_n x^{n-1} )
   • 积分级数：( \int \sum a_n x^n dx = \sum \frac{a_n}{n+1} x^{n+1} + C )
3. 唯一性定理：若两个幂级数在某个邻域内和函数相同，则对应项系数相等

五、典型例题

1. 求幂级数( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} )的收敛域
   解：

   • 收敛半径( R = \lim \frac{1/n}{1/(n+1)} = 1 )
   • 端点检验：( x=1 )时发散（调和级数），( x=-1 )时收敛（交错级数）
   • 收敛域为( [-1,1) )

2. 将( \frac{1}{1+x^2} )展开为( x=0 )处的幂级数
   解：
   利用几何级数公式：

   $$\frac{1}{1+x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} \quad (|x|<1)$$

> 注：本内容已按照考研数学大纲要求，重点突出收敛性判断和运算性质，包含定义、定理、计算方法和典型例题，适合作为复习资料使用。建议配合Desmos绘制幂级数的部分和函数图像以增强直观理解。