6.2.1 偏导数定义

一、基本概念

偏导数是多元函数微分学中的核心概念，用于研究函数沿某一坐标轴方向的变化率。

数学定义：
设函数 $z = f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某邻域内有定义，若极限

$$\frac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{(x_0,y_0)} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$$

存在，则称此极限为 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处对 $x$ 的偏导数。同理可定义对 $y$ 的偏导数。

二、几何意义

1. 几何解释：

   • 偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 表示曲面 $z=f(x,y)$ 与平面 $y=y_0$ 的交线在 $x=x_0$ 处的切线斜率
   • 三维可视化中体现为曲面在坐标轴方向的"切片曲线"的导数

2. 与一元导数的关系：
   本质上是将其他变量固定后的一元函数导数

三、计算方法

1. 求导法则：

   • 对 $x$ 求偏导时，将 $y$ 视为常数
   • 对 $y$ 求偏导时，将 $x$ 视为常数

2. 常用记号：

   • Leibniz 记号：$\frac{\partial f}{\partial x}$
   • 下标记号：$f_x$
   • 算子记号：$D_x f$

3. 典型例题：
   求 $f(x,y) = x^2y + \sin(xy)$ 的偏导数
   解：
   $\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy + y\cos(xy)$
   $\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + x\cos(xy)$

四、注意事项

1. 偏导数存在不能保证函数连续（与一元函数本质区别）
2. 计算混合偏导数时注意求导顺序（需满足Schwarz定理条件）
3. 物理应用中常表示温度场、压力场等物理量的空间变化率

五、考研重点题型

1. 分段函数在分界点处的偏导数计算
2. 抽象复合函数的偏导数求解
3. 与全微分、方向导数的综合题

考研提示：偏导数计算是多元微分的基础，每年必考2-3题，重点掌握复合函数求导的链式法则应用。

该内容包含：
1. 严格数学定义
2. 几何解释可视化
3. 计算方法和典型例题
4. 易错点提醒
5. 考研针对性提示
6. 多种数学表示法对照
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