1.1.3 函数的运算

一、基本运算类型

1. 四则运算
   设函数f(x)和g(x)定义域的交集为D，则：

   • 和/差函数：(f±g)(x) = f(x)±g(x)
   • 积函数：(f·g)(x) = f(x)·g(x)
   • 商函数：(f/g)(x) = f(x)/g(x) （要求g(x)≠0）

2. 复合运算
   (f∘g)(x) = f[g(x)]，要求g的值域包含在f的定义域内

二、运算性质

三、特殊函数运算

1. 反函数

   • 定义：若f是双射，则存在f⁻¹满足f⁻¹(f(x)) = x
   • 性质：图像关于y=x对称；单调性相同

2. 分段函数的运算
   需注意定义域划分点的处理，例如：

   f(x) = \begin{cases}
   x^2 & x \geq 0 \\
   -x & x < 0 
   \end{cases}
   

四、典型例题

1. 复合函数构造
   已知f(x)=√x，g(x)=sinx，求f∘g的定义域
   解：需满足sinx ≥ 0 ⇒ x∈[2kπ, (2k+1)π], k∈ℤ

2. 函数运算后的奇偶性判断
   证明：奇函数与偶函数的乘积为奇函数
   证：设f奇g偶，则f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-[f(x)g(x)]

五、常见错误警示

1. 复合函数定义域错误（忽略内层函数值域限制）
2. 混淆函数乘积与复合（如误认为f(g(x))=f(x)g(x)）
3. 分段函数运算时定义域划分不完整

注：本小节建议配合Desmos图形计算器进行函数运算的可视化验证，特别是复合函数的图像变换过程。