9.2.2 欧拉方程

一、基本概念

欧拉方程（Euler's Equation）是形如以下形式的高阶线性微分方程：

$$x^n y^{(n)} + a_1x^{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_{n-1}xy' + a_n y = f(x)$$

其中系数为$x$的幂函数，是变系数微分方程的重要特例。

二、标准形式

对于二阶欧拉方程（考研重点）：

$$x^2y'' + pxy' + qy = 0 \quad (x>0)$$

三、解法步骤

1. 变量代换法

令 $x = e^t$（即 $t = \ln x$），将方程转化为常系数线性方程：

1. 导数变换：

   • $xy' = \frac{dy}{dt}$
   • $x^2y'' = \frac{d^2y}{dt^2} - \frac{dy}{dt}$

2. 代入后得到：

   $$\frac{d^2y}{dt^2} + (p-1)\frac{dy}{dt} + qy = 0$$

2. 特征方程法

对变换后的方程求特征方程：

$$r^2 + (p-1)r + q = 0$$

根据根的情况得到通解：

• 两个不等实根 $r_1 \neq r_2$：$y = C_1e^{r_1t} + C_2e^{r_2t} = C_1x^{r_1} + C_2x^{r_2}$
• 相等实根 $r$：$y = (C_1 + C_2t)e^{rt} = x^r(C_1 + C_2\ln x)$
• 共轭复根 $\alpha \pm i\beta$：$y = e^{\alpha t}(C_1\cos\beta t + C_2\sin\beta t) = x^\alpha [C_1\cos(\beta\ln x) + C_2\sin(\beta\ln x)]$

四、典型例题

例题：求解 $x^2y'' + 4xy' + 2y = 0$

解：

1. 令 $x = e^t$，得：

   $$\frac{d^2y}{dt^2} + 3\frac{dy}{dt} + 2y = 0$$

2. 解特征方程 $r^2 + 3r + 2 = 0$ 得 $r_1=-1$, $r_2=-2$
3. 通解：

   $$y = C_1e^{-t} + C_2e^{-2t} = \frac{C_1}{x} + \frac{C_2}{x^2}$$

五、考研应用要点

1. 识别特征：方程各项为$x^k y^{(k)}$的线性组合
2. 非齐次方程解法：先求齐次通解，再用常数变易法或待定系数法求特解
3. 常见变形：当定义域为$x<0$时，令$x=-e^t$，结果取绝对值

六、与其他方程的联系

当欧拉方程的系数满足特定条件时，可转化为常系数方程，这种转化思想也适用于其他变系数微分方程的求解。

注：欧拉方程在物理中常见于极坐标/球坐标下的拉普拉斯方程分离变量过程。

该内容包含：
1. 严格遵循数学定义的公式表达
2. 分步骤的解法说明
3. 典型考研例题及详解
4. 特别标注的考试要点
5. 与其他知识的关联说明
6. 使用LaTeX规范排版数学公式