1.2.4 极限存在准则

一、主要内容概述

极限存在准则是判断函数或数列极限是否存在的理论依据，主要包括以下三大准则：

1. 夹逼准则（三明治定理）

定理内容：
若函数f(x), g(x), h(x)在点x₀的某去心邻域内满足：

  1. g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)
  2. lim g(x) = lim h(x) = A (x→x₀)
    则 lim f(x) = A (x→x₀)

典型应用：

  • 求含n!或n次方的极限
  • 处理三角函数与多项式混合的极限
  • 证明重要极限 lim(sinx/x)=1 (x→0)

2. 单调有界准则

数列版本：
单调递增且有上界（或单调递减且有下界）的数列必收敛。

函数版本：
若f(x)在(a,b)内单调且有界，则单侧极限lim f(x) (x→a⁺)和lim f(x) (x→b⁻)存在。

3. Cauchy收敛准则

数列版本：
数列{xₙ}收敛 ⇔ ∀ε>0, ∃N∈ℕ, 当m,n>N时|aₙ - aₘ|<ε

函数版本：
lim f(x)存在(x→x₀) ⇔ ∀ε>0, ∃δ>0, 当0<|x'-x₀|<δ且0<|x"-x₀|<δ时|f(x')-f(x")|<ε

二、典型例题解析

例题1（夹逼准则应用）

求极限：
lim (n→∞) [1/(n²+1) + 1/(n²+2) + ... + 1/(n²+n)]

解：

  1. 设原式为Sₙ，有：n/(n²+n) ≤ Sₙ ≤ n/(n²+1)
  2. 两边极限均为1
  3. 由夹逼准则得lim Sₙ = 1

例题2（单调有界准则应用）

证明数列aₙ = (1+1/n)ⁿ收敛

证明：

  1. 用二项式定理展开证明单调递增
  2. 通过放缩证明有上界（如<3）
  3. 根据单调有界准则得证

三、常见误区警示

  1. 夹逼准则使用时必须保证两边函数极限相同
  2. 单调有界准则的逆命题不成立（收敛数列不一定单调）
  3. Cauchy准则主要用于理论证明，计算题较少直接使用

四、考研真题点睛

【2022年数学一】
设f(x)在x=0处连续，且lim (x→0) [f(x)+f(x/2)]/x = A，证明f'(0)存在。

解题关键：
通过构造数列xₙ = x₀/2ⁿ，利用夹逼准则和导数定义证明。

五、思维导图

graph TD
    A[极限存在准则] --> B[夹逼准则]
    A --> C[单调有界准则]
    A --> D[Cauchy准则]
    B --> E[函数版本]
    B --> F[数列版本]
    C --> G[应用:证明e的存在]
    D --> H[完备性理论基础]

注：本部分内容建议配合《考研数学复习全书》第三章进行拓展练习，重点掌握例题中的解题思路。

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