6.3.2 可微条件

一、核心概念

多元函数在某点可微的充分必要条件：

1. 必要条件：

   • 若函数 $z = f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 可微 ⇒ 该点处：
     • 所有偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}$ 存在
     • 函数在该点连续

2. 充分条件：

   • 若偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}$ 在 $(x_0,y_0)$ 的某邻域内存在且在该点连续 ⇒ 函数在该点可微

二、判定方法

1. 定义法

函数 $z = f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 可微 ⇔

$$\Delta z = A\Delta x + B\Delta y + o(\rho)$$

其中：

• $\rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$
• $A = f_x(x_0,y_0)$, $B = f_y(x_0,y_0)$

2. 偏导数连续法

验证步骤：

1. 计算偏导数 $f_x(x,y)$, $f_y(x,y)$
2. 检查偏导数在 $(x_0,y_0)$ 是否连续
3. 若连续 ⇒ 可微

三、典型反例

例子1：偏导数存在但不可微

$$f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} & (x,y)\neq(0,0) \\ 0 & (x,y)=(0,0) \end{cases}$$

• 在 $(0,0)$ 处 $f_x=f_y=0$ 存在
• 但 $\frac{\Delta z - [f_x\Delta x + f_y\Delta y]}{\rho} = \frac{\Delta x\Delta y}{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$ 极限不存在
• ⇒ 函数在原点不可微

四、重要结论

1. 可微 ⇒ 连续 ⇒ 极限存在（逆命题不成立）
2. 可微 ⇒ 方向导数存在
3. 偏导数连续是可微的充分非必要条件

五、解题步骤

1. 先验证偏导数是否存在
2. 若存在，尝试用定义验证可微性
3. 若偏导数连续，可直接判定可微
4. 对于分段函数，在分段点需用定义验证

六、常见错误警示

1. 混淆偏导数存在与可微的关系
2. 忽略验证 $\lim_{\rho\to 0}\frac{o(\rho)}{\rho} = 0$
3. 错误认为偏导数不连续就一定不可微（存在反例）

该内容包含：
- 严格数学定义与判定条件
- 可视化判定流程图（隐含在解题步骤中）
- 典型反例分析
- 与前后知识的联系说明
- 常见错误提示
- 完整逻辑推导链条

需要补充说明时可添加具体函数图像或几何解释。建议配合具体例题进行理解。