# 7.3.1 第一类曲线积分

## 一、基本概念
### 1. 定义
设L为xOy平面内的一条光滑曲线弧，函数f(x,y)在L上有界。将L任意分成n个小弧段Δs₁,Δs₂,...,Δsₙ（Δsᵢ也表示弧长），在每一小弧段上任取一点(ξᵢ,ηᵢ)，作和式∑f(ξᵢ,ηᵢ)Δsᵢ。当各小弧段长度的最大值λ→0时，该和式的极限称为f(x,y)在曲线L上的第一类曲线积分（对弧长的曲线积分），记作：
∫ₗ f(x,y) ds = lim(λ→0) ∑f(ξᵢ,ηᵢ)Δsᵢ

### 2. 物理意义
表示曲线型构件的质量（当f(x,y)表示线密度时）

## 二、基本性质
1. **线性性质**：
   ∫ₗ [αf(x,y)+βg(x,y)] ds = α∫ₗ f(x,y) ds + β∫ₗ g(x,y) ds

2. **可加性**：
   若L由L₁和L₂组成，则
   ∫ₗ f(x,y) ds = ∫_{L₁} f(x,y) ds + ∫_{L₂} f(x,y) ds

3. **与方向无关性**：
   ∫ₗ f(x,y) ds = ∫_{-L} f(x,y) ds （-L表示L的反向曲线）

## 三、计算方法
### 1. 参数方程法
设曲线L的参数方程为：
x = φ(t), y = ψ(t) (α ≤ t ≤ β)

则计算公式为：
∫ₗ f(x,y) ds = ∫_α^β f[φ(t),ψ(t)]·√[φ'(t)²+ψ'(t)²] dt

### 2. 直角坐标法
若曲线L可表示为y=y(x) (a≤x≤b)，则：
∫ₗ f(x,y) ds = ∫_a^b f[x,y(x)]·√[1+y'(x)²] dx

### 3. 极坐标法
若曲线L的极坐标方程为r=r(θ) (α≤θ≤β)，则：
∫ₗ f(x,y) ds = ∫_α^β f(rcosθ,rsinθ)·√[r²(θ)+r'²(θ)] dθ

## 四、典型例题
### 例题1（参数方程情形）
计算∫ₗ (x²+y²) ds，其中L为圆周x=acost, y=asint (0≤t≤2π)

**解**：
ds = √[(-asint)²+(acost)²] dt = a dt
∴ 原式= ∫_0^{2π} a²·a dt = 2πa³

### 例题2（直角坐标情形）
计算∫ₗ x ds，其中L为抛物线y=x²从(0,0)到(1,1)的一段

**解**：
ds = √(1+4x²) dx
原式= ∫_0^1 x√(1+4x²) dx = [1/12·(1+4x²)^{3/2}]|_0^1 = (5√5-1)/12

## 五、注意事项
1. 第一类曲线积分中被积函数f(x,y)定义在曲线L上
2. ds恒为正，因此积分值与曲线方向无关
3. 计算时务必先求出正确的弧微分ds表达式
4. 参数方程法中参数范围必须从小到大

## 六、扩展应用
1. **曲线质量**：m = ∫ₗ ρ(x,y) ds
2. **曲线质心**：x̄ = (∫ₗ xρ ds)/m, ȳ = (∫ₗ yρ ds)/m
3. **转动惯量**：Iₓ = ∫ₗ y²ρ ds, I_y = ∫ₗ x²ρ ds