7.4.1 第一类曲面积分

一、基本概念

定义：设Σ是空间中的光滑曲面，函数f(x,y,z)在Σ上有界。将Σ任意分割成n个小曲面ΔS_i（面积记为ΔS_i），在每个ΔS_i上任取一点(ξ_i,η_i,ζ_i)，若极限

lim⁡λ→0∑i=1nf(ξi,ηi,ζi)ΔSi\lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n f(ξ_i,η_i,ζ_i)ΔS_i

存在（λ为所有ΔS_i的最大直径），则称此极限为f(x,y,z)在Σ上的第一类曲面积分，记作：

∬Σf(x,y,z)dS\iint_\Sigma f(x,y,z) dS

二、物理意义

表示密度函数为f(x,y,z)的曲面Σ的总质量。

三、计算方法

1. 参数方程法

若曲面Σ由参数方程给出：

{x=x(u,v)y=y(u,v)z=z(u,v)(u,v)∈D\begin{cases} x = x(u,v) \\ y = y(u,v) \\ z = z(u,v) \end{cases} \quad (u,v) \in D

则曲面积分为：

∬Σf(x,y,z)dS=∬Df(x(u,v),y(u,v),z(u,v))EG−F2dudv\iint_\Sigma f(x,y,z) dS = \iint_D f(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) \sqrt{EG-F^2} dudv

其中：

E=(∂x∂u)2+(∂y∂u)2+(∂z∂u)2F=∂x∂u∂x∂v+∂y∂u∂y∂v+∂z∂u∂z∂vG=(∂x∂v)2+(∂y∂v)2+(∂z∂v)2E = \left(\frac{\partial x}{\partial u}\right)^2 + \left(\frac{\partial y}{\partial u}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial u}\right)^2 \\ F = \frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial z}{\partial v} \\ G = \left(\frac{\partial x}{\partial v}\right)^2 + \left(\frac{\partial y}{\partial v}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial v}\right)^2

2. 显式方程法

若曲面Σ可表示为z = z(x,y)，(x,y)∈D：

dS=1+(∂z∂x)2+(∂z∂y)2dxdydS = \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2} dxdy

则曲面积分为：

∬Σf(x,y,z)dS=∬Df(x,y,z(x,y))1+zx2+zy2dxdy\iint_\Sigma f(x,y,z) dS = \iint_D f(x,y,z(x,y)) \sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2} dxdy

四、典型例题

例题1：计算∬Σ(x+y+z)dS\iint_\Sigma (x+y+z) dS，其中Σ为平面x+y+z=1在第一卦限部分。

解：

  1. 投影区域D：0≤x≤1, 0≤y≤1-x
  2. z=1−x−y⇒zx=−1,zy=−1z = 1-x-y \Rightarrow z_x = -1, z_y = -1
  3. dS=1+1+1dxdy=3dxdydS = \sqrt{1+1+1} dxdy = \sqrt{3} dxdy
  4. 原式=3∫01dx∫01−x(1)dy=32\sqrt{3} \int_0^1 dx \int_0^{1-x} (1) dy = \frac{\sqrt{3}}{2}

五、性质总结

  1. 线性性：∬Σ(αf+βg)dS=α∬ΣfdS+β∬ΣgdS\iint_\Sigma (αf+βg) dS = α\iint_\Sigma f dS + β\iint_\Sigma g dS
  2. 可加性：若Σ=Σ₁∪Σ₂，则∬Σ=∬Σ1+∬Σ2\iint_\Sigma = \iint_{\Sigma_1} + \iint_{\Sigma_2}
  3. 对称性：利用曲面对称性可简化计算

六、注意事项

  1. 第一类曲面积分与曲面的方向无关
  2. 计算时需保证被积函数在曲面上有定义
  3. 选择合适的投影面可简化计算

该内容包含：
1. 严格数学定义
2. 两种主要计算方法
3. 典型计算例题
4. 重要性质总结
5. 实际注意事项
符合考研数学的深度要求，同时保持逻辑清晰和结构完整。
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