8.1.1 级数收敛概念

一、基本定义

1. 无穷级数的表示

设数列 {uₙ}，其无穷级数表示为：

S=∑n=1∞un=u1+u2+u3+⋯S = \sum_{n=1}^{\infty} u_n = u_1 + u_2 + u_3 + \cdots

2. 部分和数列

定义前n项部分和：

Sn=∑k=1nukS_n = \sum_{k=1}^{n} u_k

3. 级数收敛的定义

若部分和数列{Sₙ}极限存在且为有限值：

lim⁡n→∞Sn=S(S∈R)\lim_{n \to \infty} S_n = S \quad (S \in \mathbb{R})

则称级数收敛，S称为级数的和；否则称级数发散。

二、收敛性判定的基本方法

1. 必要条件

若级数收敛，则必有：

lim⁡n→∞un=0\lim_{n \to \infty} u_n = 0

（逆命题不成立，如调和级数）

2. Cauchy收敛准则

∀ε>0,∃N∈N,当n>N时,∀p∈N,∣Sn+p−Sn∣<ε\forall \varepsilon >0, \exists N \in \mathbb{N}, \text{当} n>N \text{时}, \forall p \in \mathbb{N}, |S_{n+p}-S_n|<\varepsilon

三、典型例题分析

例1 几何级数

∑n=0∞arn(a≠0)\sum_{n=0}^{\infty} ar^n \quad (a \neq 0)

  • 当|r|<1时收敛，和为a/(1-r)
  • 当|r|≥1时发散

例2 调和级数

∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}

虽然通项趋于0，但实际发散（可用积分判别法证明）

四、收敛性质

  1. 线性性质：若∑aₙ和∑bₙ收敛，则∑(αaₙ+βbₙ)收敛（α,β为常数）
  2. 添加/删除有限项：不改变级数的收敛性
  3. 结合律：收敛级数可任意加括号，新级数收敛且和不变

五、常见误区

  1. 混淆"通项趋于0"与"级数收敛"的关系
  2. 错误应用运算法则（如对发散级数进行拆分）
  3. 忽视级数收敛的绝对性与条件性区别

六、考研重点提示

  1. 掌握ε-N语言表述收敛定义
  2. 理解Cauchy准则的几何意义
  3. 熟记几个关键反例：
    • 调和级数（通项→0但发散）
    • 交错调和级数（条件收敛）

注：本内容包含考研要求的严格数学表述，同时通过例题和误区分析帮助理解。建议配合练习题巩固：
1. 证明级数∑1/n(n+1)收敛并求其和
2. 讨论级数∑sin(n)/n²的收敛性
Last Updated::