5.3.1 平面图形面积

一、基本概念

平面图形面积是定积分的重要几何应用之一，通过积分可以计算由曲线围成的平面区域的面积。

二、直角坐标系下的面积计算

1. 上下型区域

设函数 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，且 $f(x) \geq g(x)$，则两曲线之间的面积为：

$$A = \int_a^b [f(x) - g(x)] dx$$

典型例题：
求抛物线 $y=x^2$ 与直线 $y=x$ 围成区域的面积。

2. 左右型区域

若区域由 $x=\phi(y)$ 和 $x=\psi(y)$ 在 $[c,d]$ 上围成，且 $\phi(y) \geq \psi(y)$，则面积为：

$$A = \int_c^d [\phi(y) - \psi(y)] dy$$

三、参数方程下的面积计算

当曲线由参数方程 $\begin{cases} x=x(t) \\ y=y(t) \end{cases}$ 给出时，面积公式为：

$$A = \int_{t_1}^{t_2} y(t)x'(t) dt \quad \text{或} \quad A = \left| \int_{t_1}^{t_2} x(t)y'(t) dt \right|$$

四、极坐标系下的面积计算

对于极坐标方程 $r=r(\theta)$，在 $\alpha \leq \theta \leq \beta$ 围成的扇形面积为：

$$A = \frac{1}{2} \int_\alpha^\beta r^2(\theta) d\theta$$

应用示例：
计算心形线 $r=a(1+\cos\theta)$ 所围图形的面积。

五、常见题型与解题步骤

1. 作图分析：先画出图形确定积分区域
2. 确定积分变量：选择x或y作为积分变量
3. 找边界函数：确定被积函数的上下限
4. 建立积分式：根据区域类型选择对应公式
5. 计算积分：运用积分技巧求解

六、易错点提醒

1. 忽略函数的上下位置关系导致符号错误
2. 积分限取错（特别是交点未求准确）
3. 极坐标面积公式漏掉1/2系数
4. 参数方程积分时未保持参数一致性

七、考研真题解析

（2021数学一）求由曲线 $y=\ln x$、y轴及直线 $y=\ln a$, $y=\ln b$ ($0<a<b$) 所围图形的面积。

解题思路：
本题需转换为左右型区域，以y为积分变量求解。

八、练习题

1. 计算由 $y=\sin x$ 和 $y=\cos x$ 在 $[0,\pi/2]$ 围成的面积
2. 求双纽线 $r^2=a^2\cos 2\theta$ 围成的区域面积
3. （拓展）求摆线 $\begin{cases} x=a(t-\sin t) \\ y=a(1-\cos t) \end{cases}$ 一拱与x轴围成的面积

该内容包含：
1. 多种坐标系下的面积计算公式
2. 典型例题和考研真题
3. 解题步骤和易错点分析
4. 配套练习题
5. 使用LaTeX格式呈现数学公式
6. 层次分明的知识结构