1.3.3 闭区间连续函数性质

基本概念

闭区间上的连续函数具有以下重要性质（设函数f(x)在[a,b]上连续）：

  1. 有界性定理
    若f(x)在[a,b]上连续 → ∃M>0，使|f(x)|≤M对∀x∈[a,b]成立

  2. 最值定理
    f(x)在[a,b]上必能取得最大值M和最小值m
    （即∃x₁,x₂∈[a,b]，使f(x₁)=m，f(x₂)=M）

  3. 介值定理
    对任意介于f(a)与f(b)之间的实数μ，必∃ξ∈(a,b)使f(ξ)=μ
    推论：零点定理是μ=0时的特殊情况

定理证明思路

有界性定理证明

  1. 利用反证法假设无界
  2. 构造数列{xₙ}使|f(xₙ)|>n
  3. 根据致密性定理得收敛子列
  4. 利用连续性导出矛盾

最值定理证明

  1. 先证有上界
  2. 由确界原理得supf(x)=M
  3. 构造数列逼近上确界
  4. 通过连续性证明M被取到

典型应用

方程根的存在性

例题：证明方程x³-4x²+1=0在(0,1)内至少有一个实根
证明：

  1. 设f(x)=x³-4x²+1
  2. f(0)=1>0，f(1)=-2<0
  3. 由介值定理得∃ξ∈(0,1)使f(ξ)=0

函数值域确定

例题：设f(x)在[0,2]连续，f(0)=f(2)，证明∃x∈[0,1]使f(x)=f(x+1)
证明：

  1. 构造辅助函数F(x)=f(x+1)-f(x)
  2. F(0)=f(1)-f(0)，F(1)=f(2)-f(1)=f(0)-f(1)
  3. 若f(1)=f(0)直接得证；否则F(0)·F(1)<0
  4. 由零点定理得证

注意事项

  1. 定理条件必须严格满足：
    • 区间必须闭合
    • 函数必须连续
  2. 反例说明：
    • f(x)=1/x在(0,1]无界
    • f(x)=x在(0,1)取不到最值

考研真题链接

  1. （2021数学一）设f(x)在[a,b]连续，证明存在ξ∈(a,b)使得
    f(ξ)=[f(a)+f(b)]/2
  2. （2019数学二）证明方程4^x=cosx在(0,π/2)内至少有一个根

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- 典型应用例题
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