5.3.2 旋转体体积

基本概念

旋转体是由平面图形绕某条直线旋转一周所形成的空间几何体。计算旋转体体积是定积分的重要应用之一。

计算方法

1. 绕x轴旋转的体积公式

设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，曲线绕x轴旋转形成的旋转体体积为：

$$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$$

几何意义：将旋转体切成无数薄片，每个薄片近似为半径为f(x)的圆柱体。

2. 绕y轴旋转的体积公式（柱壳法）

设函数y=f(x)在[a,b]上连续，曲线绕y轴旋转形成的旋转体体积为：

$$V = 2\pi \int_{a}^{b} x |f(x)| dx$$

适用场景：当用切片法计算困难时（如y=lnx绕y轴旋转）

3. 参数方程情形

若曲线由参数方程$\begin{cases} x=x(t) \\ y=y(t) \end{cases}$给出，绕x轴旋转的体积：

$$V = \pi \int_{t_1}^{t_2} y^2(t) \cdot x'(t) dt$$

典型例题

例题1（基础型）

求曲线$y=\sqrt{x}$在[0,4]区间绕x轴旋转形成的体积。

解：

$$V = \pi \int_{0}^{4} (\sqrt{x})^2 dx = \pi \int_{0}^{4} x dx = \pi \cdot \left. \frac{x^2}{2} \right|_{0}^{4} = 8\pi$$

例题2（复合型）

求由$y=x^2$和$y=2x$围成的区域绕x轴旋转的体积。

解题步骤：

1. 求交点：解$x^2=2x$得x=0,2
2. 确定外曲线和内曲线：在[0,2]区间，$2x \geq x^2$
3. 应用公式：

$$V = \pi \int_{0}^{2} [(2x)^2 - (x^2)^2] dx = \pi \left( \frac{16}{3} - \frac{32}{5} \right) = \frac{64\pi}{15}$$

常见错误警示

1. 混淆旋转轴对应的体积公式
2. 忽略复合图形需要做减法的情况
3. 参数方程情形漏乘导数项$x'(t)$
4. 积分限取错（特别是由图像旋转形成封闭区域时）

考研重点提示

1. 掌握柱壳法与圆盘法的选择依据
2. 注意处理由两条曲线围成的区域旋转情况
3. 参数方程和极坐标方程的旋转体计算是难点
4. 近年常考旋转体与其他知识点的综合题（如与微分方程结合）

练习题

1. 求$y=sinx$在$[0,\pi]$绕x轴旋转的体积
2. 求$y=x^3$与$y=x$在第一象限围成的区域绕y轴旋转的体积
3. （提高题）证明：曲线$r=a(1+cos\theta)$绕极轴旋转形成的体积为$\frac{8\pi a^3}{3}$

注：本内容已按照考研数学大纲要求编写，包含基础概念、核心公式、典型例题和常见错误分析，适合作为系统复习材料。建议配合图形理解（可在学习工具中使用Desmos绘制旋转体示意图）。