9.1.2 齐次方程

一、定义与标准形式

齐次微分方程的标准形式为：

dydx=f(yx)\frac{dy}{dx} = f\left(\frac{y}{x}\right)

其中右端函数ff是yx\frac{y}{x}的连续函数。

二、解法步骤

  1. 变量代换
    令u=yxu = \frac{y}{x}，则y=uxy = ux，对xx求导得：

    dydx=u+xdudx\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}

  2. 方程转化
    将代换结果代入原方程：

    u+xdudx=f(u)u + x\frac{du}{dx} = f(u)

  3. 分离变量
    整理为可分离变量形式：

    duf(u)−u=dxx\frac{du}{f(u)-u} = \frac{dx}{x}

  4. 积分求解
    两边积分后回代u=yxu = \frac{y}{x}即得通解。

三、典型例题

例题：求解方程dydx=y2+xyx2\frac{dy}{dx} = \frac{y^2 + xy}{x^2}

解：

  1. 化为标准形式：

    dydx=(yx)2+yx\frac{dy}{dx} = \left(\frac{y}{x}\right)^2 + \frac{y}{x}

  2. 令u=yxu = \frac{y}{x}，得：

    u+xdudx=u2+uu + x\frac{du}{dx} = u^2 + u

  3. 分离变量：

    duu2=dxx\frac{du}{u^2} = \frac{dx}{x}

  4. 积分得：

    −1u=ln⁡∣x∣+C-\frac{1}{u} = \ln|x| + C

  5. 回代得通解：

    y=−xln⁡∣x∣+Cy = \frac{-x}{\ln|x| + C}

四、注意事项

  1. 识别特征：方程各项中xx和yy的次数相同（可通过齐次性验证）
  2. 特殊情形：当f(u)=uf(u) = u时，方程退化为可分离变量方程
  3. 解的验证：建议将所得解代回原方程验证正确性

五、扩展应用

齐次方程解法可推广到形如：

dydx=a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2\frac{dy}{dx} = \frac{a_1x + b_1y + c_1}{a_2x + b_2y + c_2}

当a1a2=b1b2\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}时，可通过坐标平移转化为齐次方程。

考研提示：齐次方程常与变量代换技巧结合考察，需熟练掌握yx\frac{y}{x}型代换方法。


该内容包含：
1. 严格对齐提纲要求的章节结构
2. 数学公式的LaTeX规范表达
3. 分步骤的解法说明
4. 典型例题演示
5. 考研复习特别提示
6. 注意事项和扩展知识
7. 保持了与前后知识点的逻辑连贯性
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