3.1.3 Cauchy中值定理

一、定理内容

设函数 ( f(x) ) 和 ( g(x) ) 满足：

  1. 在闭区间 ([a,b]) 上连续
  2. 在开区间 ((a,b)) 内可导
  3. ( g'(x) \neq 0 ) 对任意 ( x \in (a,b) ) 成立

则存在 ( \xi \in (a,b) )，使得： [ \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} ]

二、几何意义

当 ( g(x) = x ) 时退化为Lagrange中值定理。一般情形下描述的是参数方程曲线： [ \begin{cases} x = g(t) \ y = f(t) \end{cases} ] 在参数 ( t \in [a,b] ) 时，曲线上存在一点 ( \xi ) 使得该点切线的斜率等于曲线两端点连线的斜率。

三、证明方法

  1. 构造辅助函数： [ \phi(x) = f(x) - f(a) - \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}[g(x)-g(a)] ]
  2. 验证 ( \phi(a) = \phi(b) = 0 )
  3. 应用Rolle定理

四、典型应用

  1. L'Hospital法则证明：处理 (\frac{0}{0}) 或 (\frac{\infty}{\infty}) 型极限
  2. 不等式证明：通过构造适当的 ( f(x) ) 和 ( g(x) )
  3. 函数关系分析：研究两个函数增量之间的关系

五、注意事项

  1. 必须验证 ( g(b) \neq g(a) )（否则分母为零）
  2. 与Lagrange中值定理的关系：
    • 当 ( g(x) = x ) 时，Cauchy定理即为Lagrange定理
    • Lagrange定理是Cauchy定理的特例

六、例题解析

例题：设 ( f(x) ) 在 ([0,1]) 上连续，在 ((0,1)) 内可导，且 ( f(1) = 0 )。证明存在 ( \xi \in (0,1) ) 使得： [ f'(\xi) = -\frac{f(\xi)}{\xi} ]

证明：

  1. 构造 ( g(x) = x )，在 ([ \xi, 1 ] ) 上应用Cauchy中值定理
  2. 得到存在 ( \xi \in (0,1) ) 满足： [ \frac{f(1)-f(\xi)}{1-\xi} = f'(\xi) ]
  3. 代入 ( f(1) = 0 ) 即得结论

该内容包含：
- 定理的标准数学表述
- 可视化几何解释
- 完整的证明思路
- 考研常见应用场景
- 易错点提醒
- 典型例题及解答
- 与其他中值定理的对比

需要进一步扩展或调整任何部分请随时告知。
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