第6章：离散扩散模型与改进

能量基模型（Energy-Based Models）与扩散模型的关系

1. 能量基模型（EBMs）的核心思想

能量基模型通过定义一个能量函数 $E_\theta(x)$ 来描述数据的概率分布：

$$p_\theta(x) = \frac{e^{-E_\theta(x)}}{Z_\theta}$$

其中 $Z_\theta$ 是难以计算的配分函数。EBMs的关键特性包括：

• 隐式建模：不需要显式定义概率密度
• 灵活性：能量函数可以是任意神经网络
• 与物理系统的类比：能量越低对应数据概率越高

2. 扩散模型作为特殊形式的EBM

扩散模型与EBMs存在深刻联系：

1. 分数函数等价性：扩散模型的分数函数 $\nabla_x \log p_t(x)$ 可视为能量梯度：

   $$\nabla_x \log p_t(x) = -\nabla_x E_t(x)$$

2. 动态能量景观：扩散过程对应能量函数的动态变化：
   • 正向过程：能量景观逐渐平坦化
   • 逆向过程：能量景观逐步恢复数据分布特征

3. 理论联系框架

4. 联合训练框架（理论推导）

最新研究显示二者可通过统一框架结合：

1. 联合能量函数定义：

   $$E_{joint}(x) = E_{EBM}(x) + \lambda \mathbb{E}_{t,x_t}[\|s_\theta(x_t,t) - \nabla_{x_t} \log p_t(x_t|x)\|^2]$$

2. 采样加速技术：

   # 伪代码：EBM与扩散混合采样
   def hybrid_sample(energy_model, diffusion_model):
       x = diffusion_model.initial_sample()
       for t in reversed(range(T)):
           # 扩散模型引导
           x = x - α_t * diffusion_model.score(x,t) 
           # EBM修正
           x = x - β_t * energy_model.gradient(x)
           x = x + γ_t * noise
       return x
   

5. 实际应用案例

案例1：分子生成优化

• 传统EBMs在化学空间探索效率低
• 扩散模型提供初始采样轨迹
• EBM进行精细能量修正（键角/键长约束）

案例2：图像超分辨率

# 基于PyTorch的混合模型示例
class HybridModel(nn.Module):
    def __init__(self, ebm, diffusion):
        super().__init__()
        self.ebm = ebm
        self.diffusion = diffusion
        
    def forward(self, x_noisy, t):
        diff_score = self.diffusion(x_noisy, t)
        ebm_grad = self.ebm(x_noisy)
        return diff_score + 0.3*ebm_grad  # 加权融合

6. 关键理论结果

1. 收敛性保证：当扩散过程满足特定平滑条件时，混合模型的KL散度满足：

   $$D_{KL}(p_{data}||p_{hybrid}) \leq \epsilon_{diff} + C\cdot \epsilon_{ebm}$$

2. 表达能力：混合模型可以表示任何平滑分布（Yin et al. 2022证明）

7. 当前挑战与解决方案

图：能量基模型与扩散模型的互补关系示意图